Mathématiques · Géométrie

Calculer l’aire d’un triangle (trois méthodes)

Q: Quelle méthode choisir selon les données dont on dispose ?

Hauteur tracée → base-hauteur ; trois côtés → Héron ; deux côtés et l’angle entre eux → SAS. Un plan coté avec une hauteur d’architecte : base-hauteur. Un terrain dont on a arpenté les trois bords : Héron. Une pièce d’angle avec deux murs et le rapporteur : SAS. Pythagore ne calcule pas l’aire, seulement un côté manquant si l’angle est droit.

Q: Pourquoi trois longueurs peuvent-elles être rejetées ?

Si elles violent l’inégalité triangulaire, elles ne forment pas un triangle. Chaque côté doit être strictement plus court que la somme des deux autres. 1, 2, 10 : 1+2 = 3 < 10, segment trop long. L’aire de Héron deviendrait alors imaginaire (quantité sous la racine négative) ; le moteur s’arrête avant.

Q: L’angle SAS est-il l’angle compris entre les deux côtés ?

Oui, c’est le C de (1/2)ab sin C. Si vous avez a, b et l’angle opposé à a, la formule n’est plus celle-ci (il faudrait d’abord la loi des sines). 90° entre a et b donne l’aire maximale pour ces deux longueurs ; 30° en donne la moitié de 90°, parce que sin 30° = 1/2.

Q: La hauteur doit-elle être perpendiculaire à la base ?

Oui, par définition de la hauteur. Une oblique depuis le sommet jusqu’à un point de la base n’est pas h. En intérieur, le pied peut tomber sur le segment-base ; en triangle obtus, le pied est sur le prolongement : h reste la distance à la droite-support, et la formule (base × h)/2 tient encore.

Choisissez selon vos mesures : une base et la hauteur associée, les trois côtés, ou deux côtés et l’angle entre eux. Le résultat est une aire (unité de longueur au carré). Le périmètre est aussi donné en mode Héron.

Calcul

Comment le calculateur fonctionne

Base-hauteur : on multiplie base et hauteur (perpendiculaire à cette base) et on divise par 2. Héron : on vérifie que chaque côté est plus court que la somme des deux autres, on forme le demi-périmètre s, puis √[s(s−a)(s−b)(s−c)]. SAS : l’angle C entre a et b est converti en radians, l’aire vaut (1/2) a b sin C. Les champs inutiles au mode choisi sont ignorés par le moteur.

Formule et méthode

A = (base × hauteur) / 2

La hauteur est orthogonale à la base. Base 10 et hauteur 4 : A = 20. Une « hauteur » mesurée de biais n’est pas une hauteur.

A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]    avec    s = (a + b + c) / 2

Héron, Metrica. Pour 3, 4, 5 : s = 6, A = √(6×3×2×1) = √36 = 6. C’est aussi un triangle rectangle 3-4-5, aire (3×4)/2 = 6.

A = (1/2) a b sin C

C est l’angle compris, en degrés dans le formulaire. 5, 5 et 90° : sin 90° = 1, A = 12,5.

Le mode sélectionné détermine quels champs sont lus. En Héron, l’inégalité triangulaire stricte est exigée (égalité = triangle plat d’aire 0, rejeté). En SAS, C ∈ ]0°, 180°[ ; 90° donne le maximum de sin pour ces deux côtés. Les longueurs sont des réels positifs dans une seule unité. π n’intervient qu’à travers sin, via la conversion degrés → radians.

Exemple

Base 10, hauteur 4

mode base-hauteur, base = 10, hauteur = 4

Produit 10 × 4 = 40.
Diviser par 2 : 20.

Aire = 20 u².

Héron sur 3, 4, 5

mode Héron, a = 3, b = 4, c = 5

s = (3+4+5)/2 = 6.
s(s−a)(s−b)(s−c) = 6×3×2×1 = 36.
√36 = 6.
Périmètre = 12.

Aire = 6 u², périmètre = 12 u.

SAS isocèle rectangle

mode SAS, a = 5, b = 5, angle = 90°

sin 90° = 1.
(1/2) × 5 × 5 × 1 = 12,5.

Aire = 12,5 u².

Les champs saisis

Méthode: Base-hauteur si vous avez une hauteur tracée. Héron si vous avez les trois côtés. SAS si vous avez l’angle entre deux côtés connus.
Base: Côté choisi comme base. La hauteur doit se rapporter à ce même côté.
Hauteur: Distance perpendiculaire du sommet opposé à la droite-support de la base. Pas un autre côté du triangle, sauf cas rectangle bien identifié.
Côté a: Un côté. En SAS, premier côté de l’angle. En Héron, n’importe lequel des trois.
Côté b: Deuxième côté (Héron ou SAS). En SAS, l’autre rayon de l’angle C.
Côté c: Troisième côté, mode Héron seulement. Les trois inégalités a+b>c, a+c>b, b+c>a doivent tenir.
Angle compris (degrés): Angle entre a et b, en degrés, pas en radians. 90 pour un angle droit. 0 et 180 sont exclus (aire nulle ou indéfinie).

Hypothèses et limites

Hypothèses

Triangle plan, côtés rectilignes.
En SAS, l’angle saisi est bien l’angle compris entre les deux côtés saisis, pas un angle opposé (cas ASA/AAS non gérés).

Limites

Pas de triangle sphérique, pas d’aire signée, pas de coordonnées de sommets.
Héron est numériquement sensible pour un triangle très allongé (s ≈ un côté) : l’arrondi flottant peut dégrader un résultat presque plat, déjà rejeté s’il viole l’inégalité.

Comment lire le résultat

20 u², c’est l’aire d’un rectangle 10×4 coupée en deux, ou de tout triangle de même base et même hauteur. Héron ne demande pas d’angle droit : 5, 5, 6 a une aire, calculable sans hauteur tracée. SAS avec 90° retrouve le rectangle-isocèle. Si vous cherchez un côté manquant d’un triangle rectangle, Pythagore est plus direct que de passer par l’aire.

Erreurs fréquentes

Prendre un côté pour hauteur (utiliser 5 comme hauteur d’une base 3 dans un 3-4-5 sans vérifier l’angle).
Dans 3-4-5, les côtés 3 et 4 sont perpendiculaires : hauteur relative à 3 vaut 4. Relativement à l’hypoténuse 5, la hauteur est 3×4/5 = 2,4, pas 4.
Saisir en SAS un angle qui n’est pas entre a et b.
Si vous connaissez l’angle opposé à un côté, ce n’est plus SAS. Convertissez d’abord, ou mesurez l’angle compris.
Forcer Héron avec 1, 2, 10.
1+2 < 10 : ces longueurs ne ferment pas un triangle. Le moteur refuse le cas.

Comparaison

Quelle méthode avec quelles mesures ?
Mode	Données	Piège fréquent
Base-hauteur	Un côté et la perpendiculaire associée	Hauteur non perpendiculaire
Héron	Les trois côtés	Inégalité triangulaire, unités mélangées
SAS	Deux côtés et l’angle entre eux	Angle opposé saisi à la place de l’angle compris

Méthodologie · Sources

Calculs proches

Questions fréquentes

Quelle méthode choisir selon les données dont on dispose ?

Hauteur tracée → base-hauteur ; trois côtés → Héron ; deux côtés et l’angle entre eux → SAS.

Un plan coté avec une hauteur d’architecte : base-hauteur. Un terrain dont on a arpenté les trois bords : Héron. Une pièce d’angle avec deux murs et le rapporteur : SAS. Pythagore ne calcule pas l’aire, seulement un côté manquant si l’angle est droit.

Pourquoi trois longueurs peuvent-elles être rejetées ?

Si elles violent l’inégalité triangulaire, elles ne forment pas un triangle.

Chaque côté doit être strictement plus court que la somme des deux autres. 1, 2, 10 : 1+2 = 3 < 10, segment trop long. L’aire de Héron deviendrait alors imaginaire (quantité sous la racine négative) ; le moteur s’arrête avant.

L’angle SAS est-il l’angle compris entre les deux côtés ?

Oui, c’est le C de (1/2)ab sin C.

Si vous avez a, b et l’angle opposé à a, la formule n’est plus celle-ci (il faudrait d’abord la loi des sines). 90° entre a et b donne l’aire maximale pour ces deux longueurs ; 30° en donne la moitié de 90°, parce que sin 30° = 1/2.

La hauteur doit-elle être perpendiculaire à la base ?

Oui, par définition de la hauteur.

Une oblique depuis le sommet jusqu’à un point de la base n’est pas h. En intérieur, le pied peut tomber sur le segment-base ; en triangle obtus, le pied est sur le prolongement : h reste la distance à la droite-support, et la formule (base × h)/2 tient encore.

Auteur et mise à jour

Rédaction : Rédaction HexaCalc (équipe éditoriale). Dernière mise à jour du contenu : 25 août 2026. Aucune relecture médicale ou financière tierce n’est revendiquée.

Héron d’Alexandrie — Metrica (formule de Héron) — Tradition mathématique grecque

Côté manquant d’un triangle rectangle

Si l’angle entre a et b est droit et qu’il manque l’hypoténuse, Pythagore évite de passer par l’aire.

Théorème de Pythagore

Catégorie : Mathématiques